Ring (환)

Preliminaries

• Group (군)

Ring

\(\textbf{ring}\) \(R = (S,+,\times)\)는 아래의 조건들을 만족하는 두 operation \(+, \times\)를 가진 set이다.

• \((S, +)\) 는 아벨군이다. (commutative additive group)
• \((S, \times)\) 은 항등원과 결합법칙이 성립하는 monoid이다.
• 곱셈이 덧셈에 대해 분배법칙이 성립한다, \(i.e.,a\times(b+c)=a\times b+a\times c\)

예시

1. 정수 전체의 집합 \(\mathbb{Z}\)
2. 유리수 전체의 집합 \(\mathbb{Q}\)
3. \(n \in \mathbb{Z}\)에 대해 \(\mathbb{Z}\)를 n으로 나눈 나머지 \(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}\). 이를 Quotient Ring이라 함.

추가 내용

• 모든 환 \(R\)은 자명한 \(R\)-가군(module) 구조를 가짐.
• 만약 곱하기가 commutative하면 Commutative Ring(가환환)이라고 함.
• Trivial Ring은 0으로만 채워진 ring을 말함.
• Division Ring (나눗셈환 or 비가환체)는 0이 아닌 원소에 대하여 곱셈의 역원을 가지는(또는 Unit인) Ring을 말한다 역원을 가져야 ring에서의 나눗셈을 할 수 있기 때문이다.