Group (군)

Preliminaries

• Binary Operation

Group

Group(군) \((G, \cdot)\)이란, 아래 3가지 조건을 만족하는 이항 연산(binary operation) \(\cdot\)과 집합(set) \(G\)을 말한다. (이항 연산의 정의 상 닫혀있다.)

1. 결합법칙 성립(Associativity)
2. 항등원 존재 (Existence of Identity Element)
3. 역원 존재 (Existence of Inverse Element)

추가 내용

• 만약 group이 commutative면 abelian group이라고 한다.
• 위의 세가지 조건을 만족해야 Group이며 1번만 만족하면 semi group, 1번과 2번을 만족하면 monoid라고 한다.

\[Abelian \ Group \subset Group \subset Monoid \subset Semi \ Group\]

• finite group \(\mathbb{Z}_t\) positivie integers modulo t의 subgroup이다.
• \(\mathbb{Z}_t^\times\)는 multiplicative group으로 t와 coprime인 set of intergers modulo t이다.

Order

order of a group $G$는 $G$의 element의 개수를 말한다. group \((G,\cdot)\) 의 element \(a\)에 대해서, \(\underbrace{a \cdots a}_{k}=e\) (\(e\)는 group identity)라고 할때, element \(a\)는 order \(k\)를 가진다. 만약 \(k\)가 존재하지 않으면 infinite order를 가진다고 한다. 보통 element의 order라고 한다.